Jis gimė 1920 m. sausio 1 d. Šiauliuose, kur baigė pradžios mokyklos 1-ą klasę (skyrių). 1927 m. šeima persikėlė į Kauną. Gyveno Žaliakalnyje, Žemaičių gatvėje. Romanas lankė Šančių mokyklą, vėliau – Jėzuitų gimnaziją. Klasės draugas buvo šviesios atminties kardinolas Vincentas Sladkevičius, su kuriuo bendravo iki pat jo mirties. Romanas turėjo seserį ir brolį. Sesuo mirė sulaukusi 53-ejų metų, brolis – 52-ejų metų. Buvo vedęs, užaugino dukras Jūratę ir Rūtą.

Vaikystėje Romanas svajojo studijuoti karo mokykloje. Prasidėjus karui, planai pasikeitė ir įstojo į Kūno kultūros institutą, kur mokėsi metus. Nusprendė rinktis kitą profesiją ir įstojo į anuometį Kauno valstybinį medicinos institutą. 1947 m. baigė institutą ir, įgijęs gydomosios medicinos gydytojo diplomą, išvyko dirbti į Tytuvėnus Kražių ambulatorijos vedėju.

1960 m. R. Leščinskas baigė radiologijos kursus ir tais pačiais metais įsidarbino anuomečiame Šiaulių Onkologijos dispanseryje gydytoju rentgenodiagnostu.

1996 m. Onkologijos dispanseris buvo reorganizuotas į Šiaulių apskrities Onkologijos ligoninę ir gydytojui teko dirbti rentgeno kabinete. Vėliau, nuo 2001 metų, Onkologijos ligoninę prijungus prie Respublikinės Šiaulių ligoninės, teko dirbti ir Onkologijos klinikos Radiologijos endoskopijų skyriuje gydytoju rentgenodiagnostu.

Gydytojui rentgenologui R. Leščinskui buvo suteikta aukščiausia kvalifikacinė kategorija bei gydytojo konsultanto kvalifikacija. Respublikinės Šiaulių ligoninės Onkologijos klinikos Konsultacijų poliklinikoje gydytoju konsultantu dirbo iki 2004-ųjų lapkričio 11 d. Būdamas 84-erių metų gydytojas R. Leščinskas išėjo į užtarnautą poilsį.

Kvalifikuotą rentgenodiagnostą labai vertino ne tik kolegos, bet ir pacientai, draugai, kaimynai. Puikus specialistas, nuostabus draugas, mylintis vyras ir tėvas dar ilgai išliks jį pažinusiųjų atmintyje ir širdyse.

Vilniaus g. 52 daugiabučio namo bendrijos gyventojai